考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)在已知數(shù)列遞推式中取n=1,結(jié)合a
1=1求得p=1,再代入數(shù)列遞推式,同時取n=n-1得另一遞推式,作差后可得
an-an-1=,即數(shù)列{a
n}是以1為首項,以
為公差的等差數(shù)列,由此求出等差數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)把等差數(shù)列的通項公式代入b
n=
,分母有理化后裂項,然后利用裂項相消法求得數(shù)列{b
n}的前n項和T
n.
解答:
解:(1)∵a
1=1,對任意的n∈N
*,有2S
n=2pa
n2+pa
n-p,
∴2a
1=2pa
12+pa
1-p,
即2=2p+p-p,解得p=1.
2S
n=2a
n2+a
n-1,①
2S
n-1=2a
n-1 2+a
n-1-1,(n≥2),②
①-②即得(a
n-a
n-1-
)(a
n+a
n-1)=0,
∵a
n+a
n-1≠0,∴a
n-a
n-1-
=0,即
an-an-1=.
∴數(shù)列{a
n}是以1為首項,以
為公差的等差數(shù)列.
∴
an=1+(n-1)=;
(2)b
n=
=
==(-),
∴
Tn=[(-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)]=
(+--).
點(diǎn)評:本題考查了數(shù)列遞推式,考查了等差關(guān)系的確定,訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和,是中檔題.