Question

求函數(shù)f（x）=x²-ax+1（a為常數(shù)），x∈[-1，1]的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：討論對(duì)稱軸x=

a

2

和區(qū)間[-1，1]的關(guān)系，從而判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性及是否取得頂點(diǎn)的情況，從而求出函數(shù)f（x）在每種情況下的值域．

解答： 解：f（x）=x²-ax+1=(x-

a

2

)2+1-

a2

4

；
∴①當(dāng)

a

2

≤-1，即a≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇f（-1），f（1）]=[2+a，2-a]；
②當(dāng)-1＜

a

2

≤0，即-2＜a≤0時(shí)，x=

a

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值1-

a2

4

，又f（-1）=2+a，f（1）=2-a，f（-1）＜f（1），∴函數(shù)f（x）的最大值為2-a，∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="zpigehq" class="MathJye">[1-

a2

4

，2-a]；
③當(dāng)0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2時(shí)，x=

a

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值1-

a2

4

，又f（-1）=2+a，f（1）=2-a，f（-1）＞f（1），∴函數(shù)f（x）的最大值是2+a，∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="mr9z555" class="MathJye">[1-

a2

4

，2+a]；
④當(dāng)

a

2

≥1，即a≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇f（1），f（-1）]=[2-a，2+a]．

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)在一閉區(qū)間上的值域，并注意本題對(duì)對(duì)稱軸的討論過程．