Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a-2）x-alnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=-x³-ax²+a-

a2

4

，若存在α，β∈（0，a]，使得|f（α）-g（β）|＜a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f′(x)=

(2x-a)(x+1)

x

(x＞0)，再討論當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)的情況，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，a]時(shí)分別求出f（x）_min，g(x)max=a-

a2

4

，從而得出f(x )min-g(x)max=-aln

a

2

，討論①當(dāng)-aln

a

2

≤0，②當(dāng)-aln

a

2

＞0時(shí)的情況，綜合得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

(2x-a)(x+1)

x

(x＞0)
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＞0得x＞

a

2

；由f'（x）＜0得0＜x＜

a

2

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(

a

2

，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，

a

2

)
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，a]時(shí)，∴f(x)min=f(

a

2

)=a-

a2

4

-aln

a

2

，
g(x)=-x3-ax2+a-

a2

4

，
則g′(x)=-3x2-2ax=-3(x+

a

3

)2+

a2

3

當(dāng)x∈（0，a]時(shí)，g(x)max=a-

a2

4

，
f(x )min-g(x)max=-aln

a

2

①當(dāng)-aln

a

2

≤0，則|f（α）-g（β）|_min=0＜a顯然成立，即a≥2
②當(dāng)-aln

a

2

＞0，則|f(α)-g(β)|min=|f(x )min-g(x)max|=-aln

a

2

＜a，即

2

e

＜a＜2，
綜上可知 a＞

2

e

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查分類討論，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．