13.已知橢圓G:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)在y軸上的一個(gè)頂點(diǎn)為M,兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,∠F1MF2=120°,△MF1F2的面積為$\sqrt{3}$.
(1)求橢圓G的方程;
(2)過(guò)橢圓G長(zhǎng)軸上的點(diǎn)P(t,0)的直線l與橢圓O:x2+y2=1相切于點(diǎn)Q(Q與P不重合),交橢圓G于A,B兩點(diǎn),若|AQ|=|BP|,求實(shí)數(shù)t的值.

分析 (1)由題意可知:焦點(diǎn)在x軸上,M為橢圓的上頂點(diǎn),則丨MF1丨=a,∠F1MF2=120°,則c=asin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,b=acos60°=$\frac{1}{2}$a,根據(jù)三角形的面積公式可知:△MF1F2的面積為S=$\frac{1}{2}$•(2c)•b=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$a•$\frac{1}{2}$a=$\sqrt{3}$.即可求得a和b的值,求得橢圓G的方程;
(2)由題意設(shè)出l:y=k(x-t),得到OQ所在直線方程,求出Q的坐標(biāo),由直線和圓相切得到k2=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$,再聯(lián)立直線方程和橢圓方程,由|AQ|=|BP|可得AB中點(diǎn)與PQ中點(diǎn)重合,由此列式求得k值,代入k2=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$,求得t值.

解答 解:(1)由橢圓G:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,M為橢圓的上頂點(diǎn),則丨MF1丨=a,
由∠F1MF2=120°,
∴c=asin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,b=acos60°=$\frac{1}{2}$a,
由△MF1F2的面積為S=$\frac{1}{2}$•(2c)•b=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$a•$\frac{1}{2}$a=$\sqrt{3}$.
解得:a=2,則b=1,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$;
(2)如圖,由題意可知,直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為k,
則l:y=k(x-t),
則OQ所在直線方程為y=-$\frac{1}{k}$,
由O到直線l的距離d=$\frac{丨-kt丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,解得:k2=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-t)}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$,解得:Q($\frac{{k}^{2}t}{1+{k}^{2}}$,-$\frac{kt}{1+{k}^{2}}$),
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-t)}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,得(1+4k2)x2-8k2tx+4k2t2-4=0,
∴x1+x2=$\frac{8{k}^{2}t}{1+4{k}^{2}}$,
由題意可知,AB中點(diǎn)與PQ中點(diǎn)重合,
則$\frac{4{k}^{2}t}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{\frac{{k}^{2}t}{1+{k}^{2}}+t}{2}$,即k2=$\frac{1}{2}$.
由k2=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$,得t=±$\sqrt{3}$.
∴實(shí)數(shù)t的值為±$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓方程求法,考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.

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