Question

1．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₂=4，S₅=30．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令b_n=a_n2^n-1，求數(shù)列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列的通項公式、等比中項的性質(zhì)列出方程組，求出a₁和d，代入等差數(shù)列的通項公式求出a_n；
（2）由（1）和指數(shù)的運算性質(zhì)化簡b_n，利用錯位相減法和等比數(shù)列的前n項和公式求出前n項和T_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}×d=30}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=2+（n-1）•2=2n；
（2）由（1）得，b_n=a_n2^n-1=n•2ⁿ，
所以T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得，-T_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，等比中項的性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項和公式，以及錯位相減法求數(shù)列的和，考查方程思想，化簡、變形能力．