Question

3．如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，點(diǎn)N在AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，AP=λAM，求
（1）λ的值；
（2）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{CP}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)M是BC的中點(diǎn)，AN=2NC，便可得到$\overrightarrow{AP}=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3λ}{4}\overrightarrow{AN}$，這樣由B，P，N三點(diǎn)共線便可知$\frac{λ}{2}+\frac{3λ}{4}=1$，從而求出λ的值；
（2）根據(jù)向量加法的幾何意義，$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$，根據(jù)上面求得的λ，可以用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AP}$，然后進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{CP}$．

解答 解：（1）根據(jù)條件，$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AM}=\frac{λ}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{λ}{2}（\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AN}）=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3λ}{4}\overrightarrow{AN}$；
∵B，P，N三點(diǎn)共線；
∴$\frac{λ}{2}+\frac{3λ}{4}=1$；
∴$λ=\frac{4}{5}$；
（2）根據(jù)（1），$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$
=$-\overrightarrow{AC}+\frac{2}{5}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$
=$\frac{2}{5}\overrightarrow{a}-\frac{3}{5}\overrightarrow$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘、向量加法的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算．