Question

15．△ABC內(nèi)接于以O為圓心的圓O，且3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$-5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．則∠C=135°．若AB=1，求$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 已知向量等式移向，平方求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，由$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OC}$得出A，B，C三點在圓心的同一側，從而得出圓周角∠C的大�。挥葾B=1求出$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，把$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{AB}$用$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}$表示，展開后得答案．

解答 解：∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$-5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OC}$，
兩邊平方可得：$9|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+24\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$$+16|\overrightarrow{OB}{|}^{2}$=$25|\overrightarrow{OC}{|}^{2}$．
∵A，B，C在圓上，設OA=OB=OC=1．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
由$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OC}$，可知A，B，C三點在圓心的同一側，
∴根據(jù)圓周角定理知∠C=180°-$\frac{1}{2}$90°=135°；
故答案為：135°；
若AB=1，則$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=$（\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$=$\frac{1}{5}$．
故答案為：135°；$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查三角形外心的性質(zhì)和應用，解題的關鍵是對于所給的向量式的整理，注意向量運算法則的靈活運用，是中檔題．