Question

12．已知點(diǎn)C在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于點(diǎn)F，DC是∠ACB的平分線交AE于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)D，則∠ADF的度數(shù)為45°．

Answer 1

分析 根據(jù)直徑上的圓周角是直角、弦切角定理以及三角形內(nèi)內(nèi)角和定理等通過角的關(guān)系求解．

解答 解：設(shè)∠EAC=α，根據(jù)弦切角定理，∠ABE=α．
根據(jù)三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠ACE=90°-2α．
由于CD是∠ACB的內(nèi)角平分線，所以FCE=45°-α．
再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．
根據(jù)對(duì)頂角定理，∠AFD=45°．
由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．
故答案為：45°．

點(diǎn)評(píng) 本題的涉及很獨(dú)到，試題涉及成動(dòng)態(tài)的，即點(diǎn)C是可變的，在這個(gè)動(dòng)態(tài)中求解其中的一個(gè)不變量．解決這類試題要善于抓住主要的變化關(guān)系，如本題中主要的變量就是∠AEC，抓住這個(gè)變量后，其余的角可以使用這個(gè)變量進(jìn)行表達(dá)，通過各個(gè)角的關(guān)系證明求解的目標(biāo)與這個(gè)變量沒有關(guān)系．