Question

20．已知△ABC的三個頂點的坐標為A（1，0），B（3，2），C（2，4）．求：
（1）點D的坐標，使四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）點C關于直線AB對稱點的坐標；
（3）△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標公式即可得出．
（2）利用垂直平分線的性質(zhì)即可得出；
（3）利用兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）設AC中點為M，則$M（\frac{3}{2}，2）$
由ABCD為平行四邊形知M為BD中點，而B（3，2）
故D（0，2）．
（2）直線AB方程為y=x-1
過點C且與AB垂直的直線方程為y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ y=-x+6\end{array}\right.$，得交點E為$（{\frac{7}{2}，\frac{5}{2}}）$，
設點C關于直線AB的對稱點為C′，
則E為C，C′的中點，故C′點坐標為（5，1）．
（3）$AB=\sqrt{{{（1-3）}^2}+{{（0-2）}^2}}=2\sqrt{2}$，
點C（2，4）到直線AB：x-y-1=0的距離為$d=\frac{|2-4-1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{{3\sqrt{2}}}{2}=3$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標公式、垂直平分線的性質(zhì)、兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．