Question

1．在平面直角坐標系中．以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知曲線C：pcos²θ=2asinθ（a＞0）過點P（-4，-2）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）直線l與曲線C分別交于點M，N．
（1）寫出C的直角坐標方程和l的普通方程；
（2）若丨PM丨，丨MN丨，丨PN丨成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用所給方程的特點結合題意整理為直角坐標方程和普通方程即可；
（2）聯(lián)立直線的參數(shù)方程與C的直角坐標方程，結合韋達定理和等比數(shù)列的性質即可求得最終結果．

解答 解：（1）曲線C的直角坐標方程為x=2ay（a＞0），
直線l的普通方程為x-y+2=0．
（2）將直線l的參數(shù)方程與C的直角坐標方程聯(lián)立，得t²-2$\sqrt{2}$（4+a）t+8（4+a）=0．
由△=8a（4+a）＞0，
可設點M，N對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，且t₁，t₂是方程（*）的根，
則丨PM丨=丨t₁丨，丨PN丨=丨t₂丨，丨MN丨=丨t₁-t₂丨．
由題設得（t₁-t₂）²=丨t₁t₂丨，即（t₁-t₂）²-4t₁t₂=丨t₁t₂丨．
由（*）得t₁+t₂=2$\sqrt{2}$（4+a），t₁t₂=8（4+a）＞0，
則有（4+a）²-5（4+a）=0，解得a=1或a=-4．
因為a＞0，則a=1．

點評 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于中等題．