Question

4．雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為C上任意一點(diǎn)，則以|PF₁|或|PF₂|為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓一定（　　）

• A． 相交
• B． 相離
• C． 相切
• D． 內(nèi)含

Answer 1

分析 利用雙曲線的定義，通過圓心距判斷出當(dāng)點(diǎn)P分別在左、右兩支時(shí)，利用兩圓圓心距離和半徑之間的關(guān)系判斷兩圓相內(nèi)切、外切．

解答 解：設(shè)以實(shí)軸|F₁F₂|為直徑的圓的圓心為O₁，其半徑r₁=a，
線段PF₂為直徑的圓的圓心為O₂，其半徑為r₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$，
當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$，
∵r₂-|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$-$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$=a=r₁，
∴兩圓內(nèi)切．
當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)，
|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$，
∵|O₁O₂|-r₂=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$-$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$=a=r₁，
∴r₁+r₂=|O₁O₂|
∴兩圓外切．
綜上兩圓相切，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用以及兩圓位置關(guān)系的判斷，利用雙曲線的定義結(jié)合兩圓位置關(guān)系的定義是解決本題的關(guān)鍵．注意要對(duì)P進(jìn)行分類討論．