Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

anan+1

，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．若T_n≥

5

12

，求n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：解：（1）由S_n=n²，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=n²，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．當(dāng)n=1時(shí)也成立，∴a_n=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
由T_n≥

5

12

，

n

2n+1

≥

5

12

，解得n≥

5

2

，因此n的最小值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．