Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N^*），數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）證明：數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求S_n；
（3）證明：S_n+1＞S_n+2ⁿ+n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=2a_n-n+1（n∈N^*），變形為a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（3）由（2）可得S_n+1=

(n+1)(n+2)

2

+2n+1-1，作差Sn+1-(Sn+2n+n)即可得出．

解答： （1）解：∵a_n+1=2a_n-n+1（n∈N^*），∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
a₁-1=1，
∴數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，
∴a_n-n=2^n-1，
∴an=n+2n-1．
（2）解：S_n=

n(n+1)

2

+

2n-1

2-1

=

n2+n

2

+2ⁿ-1．
（3）證明：由（2）可得S_n+1=

(n+1)(n+2)

2

+2n+1-1，
∴Sn+1-(Sn+2n+n)=

(n+1)(n+2)-n(n+1)

2

+（2ⁿ⁺¹-2×2ⁿ）-n=1＞0．
∴S_n+1＞S_n+2ⁿ+n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．