Question

2．一般來說，一個(gè)人腳掌越長(zhǎng)，他的身高越高，現(xiàn)對(duì)10名成年人的腳掌長(zhǎng)x與身高y進(jìn)行測(cè)量，得到數(shù)據(jù)（單位均為cm）作為一個(gè)樣本如下表所示：

腳掌長(zhǎng)（x）	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
身高（y）	141	146	154	160	169	176	181	188	197	203

（1）在上表數(shù)據(jù)中，以“腳掌長(zhǎng)”為橫坐標(biāo)，“身高”為縱坐標(biāo)，作出散點(diǎn)圖后，發(fā)現(xiàn)三點(diǎn)在一條直線附近，試求“身高”與“腳掌長(zhǎng)”之間的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+a
（2）若某人的腳掌長(zhǎng)為26cm，試估計(jì)此人的升高；
（3）在樣本中，從身高180cm以上的4人中隨機(jī)抽取2人作進(jìn)一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人在190cm以上的概率． 
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{10}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=577.5，$\sum_{i=1}^{10}$（x_i-$\overline{x}$）²=82.5）
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：$\overline$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{1}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出樣本中心點(diǎn)（$\overline{x}$，$\overline{y}$），利用公式求出$\stackrel{∧}$與$\stackrel{∧}{a}$的值，即可寫出線性回歸方程；
（2）根據(jù)線性回歸方程求出x=26.5時(shí)$\stackrel{∧}{y}$的值即可；
（3）用列舉法求出從身高180cm以上4人中隨機(jī)抽取2人的基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值．

解答 解：（1）記樣本中10人的“腳掌長(zhǎng)”為x_i（i=1，2，3，…，10），
“身高”為y_i（i=1，2，3，…，10），
則$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$×（20+21+…+29）=24.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{10}$×（141+146+…+203）=171.5；
∵$\sum_{i=1}^{10}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=577.5，$\sum_{i=1}^{10}$（x_i-$\overline{x}$）²=82.5，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{577.5}{82.5}$=7；---（3分）
∴$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=171.5-7×24.5=0，--（4分）
所求的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=7x---（5分）
（2）由（1）知$\stackrel{∧}{y}$=7x，--------（6分）
當(dāng)x=26.5時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=7×26.5=185.5，
故估計(jì)此人的身高為185.5；---（7分）
（3）將身高為181、188、197、203（cm）的4人分別記為A、B、C、D，---（8分）
記“從身高180cm以上4人中隨機(jī)抽取2人，
所抽的2人中至少有1個(gè)身高在190cm以上”為事件A，
則基本事件有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，總數(shù)為6，---（10分）
A包含的基本事件有：AC、AD、BC、BD、CD，個(gè)數(shù)為5，
所以P（A）=$\frac{5}{6}$．---（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，也考查了用列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題目．