Question

已知曲線C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N+），從C上的點(diǎn)Q_n（x_n，y_n）作x軸的垂線，交C_n于點(diǎn)P_n，再?gòu)狞c(diǎn)P_n作y軸的垂線，交C于點(diǎn)Q_n+1（x_n+1，y_n+1），設(shè)x₁=1，a_n=x_n+1﹣x_n，．
（1）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
求證：；
（3）若已知，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為A_n，數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為B_n，試比較A_n與的大�。�

Answer 1

解：（1）依題意點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（x_n，y_n+1），
∴=，
∴x_n+1=x_n+n，
∴x_n=x_n﹣1+n﹣1=x_n﹣2+（n﹣2）+（n﹣1）=…=x₁+1+2+…+（n﹣1）=．
（2）∵，
∴，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，，
∴T_2n﹣1=c₁+c₂+…+c_2n﹣1≤=，（當(dāng)n=1時(shí)取“=”）．
（3）∵a_n=x_n+1﹣x_n=n，
∴，
由，
知，
∴，
而d₁=2，
∴，
于是
=．
∴．
當(dāng)n=1，2時(shí) ；
當(dāng)n=3時(shí)，
當(dāng)n≥4時(shí)，
下面證明：當(dāng)n≥4時(shí)，
證法一：（利用組合恒等式放縮）
當(dāng)n≥4時(shí)，=，
∴當(dāng)n≥4時(shí)，
證法二：（函數(shù)法）∵n≥4時(shí)，2n﹣2
構(gòu)造函數(shù)，
[h'（x）]'=h''（x）=1﹣2^xln₂2
∴當(dāng)x∈[4，+∞）時(shí)，h''（x）=1﹣2xln22＜0
∴h'（x）=x﹣2^xln2在區(qū)間[4，+∞）是減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[4，+∞）時(shí)，
∴在區(qū)間[4，+∞）是減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[4，+∞）時(shí)，
從而n≥4時(shí)，，即2ⁿ﹣2，
∴當(dāng)n≥4時(shí)，．