Question

已知曲線C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N+），從C上的點Q_n（x_n，y_n）作x軸的垂線，交C_n于點P_n，再從點P_n作y軸的垂線，交C于點Q_n+1（x_n+1，y_n+1），設(shè)x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，．
（1）求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（2）記，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證：；
（3）若已知，記數(shù)列{a_n}的前n項和為A_n，數(shù)列{d_n}的前n項和為B_n，試比較A_n與的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意點P_n的坐標為（x_n，y_n+1），故=，從而能求出數(shù)列{x_n}的通項公式．
（2）由，知，當n≥2時，，故T_2n-1=c₁+c₂+…+c_2n-1≤．由此能夠證明；
（3）由a_n=x_n+1-x_n=n，知，由，知，故，由此能夠比較A_n與的大小．
解答：解：（1）依題意點P_n的坐標為（x_n，y_n+1），
∴=，
∴x_n+1=x_n+n，
∴x_n=x_n-1+n-1=x_n-2+（n-2）+（n-1）=…=x₁+1+2+…+（n-1）=．
（2）∵，
∴，…（5分）
∴當n≥2時，，
∴T_2n-1=c₁+c₂+…+c_2n-1≤=，（當n=1時取“=”）．…（8分）
（3）∵a_n=x_n+1-x_n=n，
∴，
由，
知，
∴，
而d₁=2，
∴，
于是
=．
∴．…（10分）
當n=1，2時 ；
當n=3時，
當n≥4時，
下面證明：當n≥4時，
證法一：（利用組合恒等式放縮）
當n≥4時，=，
∴當n≥4時，…（13分）
證法二：（函數(shù)法）∵n≥4時，2ⁿ-2
構(gòu)造函數(shù)，[h'（x）]'=h''（x）=1-2^xln²2
∴當x∈[4，+∞）時，h''（x）=1-2^xln²2＜0
∴h'（x）=x-2^xln2在區(qū)間[4，+∞）是減函數(shù)，
∴當x∈[4，+∞）時，
∴在區(qū)間[4，+∞）是減函數(shù)，
∴當x∈[4，+∞）時，
從而n≥4時，，即2ⁿ-2，
∴當n≥4時，．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法、不等式的證明和兩個表達式大小的比較，具體涉及到數(shù)列與不等式的綜合運用，放縮法的應(yīng)用和構(gòu)造法的應(yīng)用．