已知曲線C:y=4x,Cn:y=4x+n(n∈N*),從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于Pn,再從點Pn作y軸的垂線,交C于點Qn+1(xn+1,yn+1),設x1=1,an=xn+1-xnbn=
yn+1
yn

(1)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(2)記cn=
4
anbn
,數(shù)列{cn}的前n項和為Sn,試比較Sn
37
32
的大小(n∈N*);
(3)記dn=
5n
2n+2×(bn-1)
,數(shù)列{dn}的前n項和為Tn,試證明:(2n-1)•dn≤T2n-1
分析:(1)依題意點Pn的坐標為(xn,yn-1),從而得到yn+1=4xn+n=4xn+1,xn+1=xn+n,由此能求出數(shù)列{xn}的通項公式.
(2)由an=n,bn=4n,cn=
1
n•4n-1
,知S1=1<
37
32
S2=1+
1
8
=
9
8
37
32
,S3=1+
1
8
+
1
48
=
55
48
37
32
,當n>3時,Sn=
1
1
+
1
2×4
+
1
42
+…+
1
4n-1
<1+
1
2×4
+
1
42
+
1
43
+…+
1
4n-1
37
32

(3)當n≥2,k=1,2,…,2n-1時,有dk+d2n-k=
3
4
×[
5k
2k×(4k -1)
+
52n-k
22n-k×(42n-k-1)
]
5n
2n+2
1
42k-4k-42n-k+1
0,由此能夠推導出對任意的n∈N*,都有(2n-1)•dn≤T2n-1
解答:解:(1)依題意點Pn的坐標為(xn,yn-1),
yn+1=4xn+n=4xn+1,
∴xn+1=xn+n,
∴xn=xn-1+n-1
=xn-2+(n-2)+(n-1)
=…=x1+1+2+…+(n-1)
=
n(n-1)
2
+1

(2)由(1)知,an=n,bn=4n
cn=
1
n•4n-1
,
S1=1<
37
32
,S2=1+
1
8
=
9
8
37
32

S3=1+
1
8
+
1
48
=
55
48
37
32
,
∴當n>3時,Sn=
1
1
+
1
2×4
+
1
42
+…+
1
4n-1

<1+
1
2×4
+
1
42
+
1
43
+…+
1
4n-1

=1+
1
8
+
1
3
×
1
42
×(1-
1
4n-2
)
1-
1
4

=
9
8
+
1
36
-
1
4n-1
37
32

(3)當n≥2,k=1,2,…,2n-1時,有:
dk+d2n-k=
3
4
×[
5k
2k×(4k -1)
+
52n-k
22n-k×(42n-k-1)
]

3
4
×2
5k
2k×(4k-1)
×
52n-k
22n-k×(42n-k-1)

=
3×2×5n
2n
1
(4k-1)(42n-k-1)

=
5n
2n+2
1
42k-4k-42n-k+1

又∵4k+42n-k≥2×4n,
∴42n-4k-42n-k+1≤42n-2×4n+1=(4n-1)2,
dk+d2n-k
5n
2n+2
×
1
4n-1
=2dn
,
T2n-1
1
2
×(2n-1)×2dn
=(2n-1)dn,
∴對任意的n∈N*,都有(2n-1)•dn≤T2n-1
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查兩個數(shù)大小的比較,考查不等式的證明,解題時要認真審題,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
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已知曲線C:y=4x,Cn:y=4x+n(n∈N+),從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點Pn,再從點Pn作y軸的垂線,交C于點Qn+1(xn+1,yn+1),設x1=1,an=xn+1-xn,bn=
yn+1
yn

(1)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(2)記cn=
5n
2n+2×(bn-1)
,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求證:T2n-1
5
3
×[1-(
5
8
)2n-1]
;
(3)若已知
d1
2
+
d2
22
+
d3
23
+…+
dn
2n
=2n-1(n∈N*)
,記數(shù)列{an}的前n項和為An,數(shù)列{dn}的前n項和為Bn,試比較An
Bn-2
4
的大小.

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(2010•黃岡模擬)已知曲線C:y=4x,Cn:y=4x+n(n∈N*),從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點Pn,再從點Pn作y軸的垂線,交C于點Qn+1(xn+1,yn+1),設x1=1,an=xn+1-xn,bn=
yn+1
yn

(1)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(2)記cn=
4
anbn
,數(shù)列{cn}的前n項和為Sn,試比較Sn
37
32
的大。╪∈N*);
(3)記dn=
5n
2n+2×(bn-1)
,數(shù)列{dn}的前n項和為Tn,試證明:(2n-1)•dn≤T2n-1
5
3
×[1-(
5
8
)
2n+1
].

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科目:高中數(shù)學 來源:月考題 題型:解答題

已知曲線C:y=4x,Cn:y=4x+n(n∈N+),從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點Pn,再從點Pn作y軸的垂線,交C于點Qn+1(xn+1,yn+1),設x1=1,an=xn+1﹣xn,
(1)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(2)記,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn
求證:;
(3)若已知,記數(shù)列{an}的前n項和為An,數(shù)列{dn}的前n項和為Bn,試比較An的大。

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年湖南省衡陽八中高三(上)第三次月考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知曲線C:y=4x,Cn:y=4x+n(n∈N+),從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點Pn,再從點Pn作y軸的垂線,交C于點Qn+1(xn+1,yn+1),設x1=1,an=xn+1-xn,
(1)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(2)記,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求證:;
(3)若已知,記數(shù)列{an}的前n項和為An,數(shù)列{dn}的前n項和為Bn,試比較An的大小.

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