4．已知定義在R上的函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x1、x2滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，且f（1）=0，則f（2017）=（　　）
A．4032B．2016C．2017D．4034

分析 運用賦值法，分別求出f（2），f（3），f（4），總結(jié)規(guī)律得到f（n）=2n-2，由此能求出f（2017）的值．

解答 解：f（1）=0，
f（2）=f（1）+f（1）+2=0+0+2=2，
f（3）=f（2）+f（1）+2=2+2=4，
f（4）=f（3）+f（1）+2=4+2=6，
…
∴f（n）=2n-2．
用數(shù)學歸納法證明如下：
（1）當n=1時，f（1）=2×1-2=0，結(jié)論成立．
（2）假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即f（k）=2k-2，
則當n=k+1時，f（k+1）=f（k）+f（1）+2=2k-2+2=2k，
結(jié)論也成立，
由（1）、（2）知，f（n）=2n-2．
∴f（2017）=2×2017-2=4032．
故選：A．

點評 本題考查抽象函數(shù)的運用，注意運用賦值法，歸納猜想并證明，考查運算能力和推理能力，解題時要認真審題，仔細解答，注意總結(jié)規(guī)律．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．已知函數(shù)f（x）=（x2-x+1）ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[-2，+∞）時，討論函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m的公共點個數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

15．設(shè)函數(shù)f（x）=2017x+sin2017x，g（x）=log2017x+2017x，則（　�。�
A．對于任意正實數(shù)x恒有f（x）≥g（x）B．存在實數(shù)x0，當x＞x0時，恒有f（x）＞g（x）
C．對于任意正實數(shù)x恒有f（x）≤g（x）D．存在實數(shù)x0，當x＞x0時，恒有f（x）＜g（x）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．某同學通過計算機測試的概率為$\frac{1}{3}$，他連續(xù)測試3次，且三次測試相互獨立，其中恰有1次通過的概率為$\frac{4}{9}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

19．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，若a2-a5=-78，S3=13，則數(shù)列{an}的通項公式an=（　　）
A．2nB．B、2n-1C．3nD．3n-1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．已知tan（-α-$\frac{4}{3}$π）=-5，則tan（$\frac{π}{3}$+α）的值為5．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

16．若將函數(shù)y=sinx+$\sqrt{3}$cosx的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位長度得到函數(shù)y=sinx-$\sqrt{3}$cosx的圖象，則φ的最小值為$\frac{2π}{3}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點為F1（-c，0）、F2（c，0），P為橢圓上一點，|PF1|=|F1F2|，直線PF1與y軸交于點M，F(xiàn)2M為∠PF2F1的角平分線，求離心率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

5．已知函數(shù)f（x）=x2+2alnx．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為l，求實數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案