Question

14．已知函數(shù)f（x）=（x²-x+1）e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-2，+∞）時(shí)，討論函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的端點(diǎn)值和極值，通過討論m的范圍，求出函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x²-x+1）e^x，
f′（x）=x（x+1）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
故f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）在[-2，-1）遞增，在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
而f（-2）=$\frac{7}{{e}^{2}}$，f（-1）=$\frac{3}{e}$，f（0）=1＜f（-2），
故m＞$\frac{3}{e}$時(shí)，f（x）的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)，
m=$\frac{3}{e}$時(shí)，f（x）的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)，
1＜m＜$\frac{3}{e}$時(shí)，f（x）的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是3個(gè)，
m=1時(shí)，f（x）的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)，
$\frac{7}{{e}^{3}}$≤m＜1時(shí)，f（x）的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)；
m＜$\frac{7}{{e}^{3}}$時(shí)，f（x）的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是0個(gè)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．