Question

14．如圖所示，沿河有A、B兩城鎮(zhèn)，它們相距20千米，以前，兩城鎮(zhèn)的污水直接排入河里，現(xiàn)為保護(hù)環(huán)境，污水需經(jīng)處理才能排放，兩城鎮(zhèn)可以單獨(dú)建污水處理廠，或者聯(lián)合建污
水處理廠（在兩城鎮(zhèn)之間或其中一城鎮(zhèn)建廠，用管道將污水從各城鎮(zhèn)向污水處理廠輸送），依據(jù)經(jīng)驗公式，建廠的費(fèi)用為f（m）=25•m^0.7（萬元），m表示污水流量，鋪設(shè)管道的費(fèi)用（包括管道費(fèi)）$g（x）=3.2\sqrt{x}$（萬元），x表示輸送污水管道的長度（千米）；
已知城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B的污水流量分別為m₁=3、m₂=5，A、B兩城鎮(zhèn)連接污水處理廠的管道總長為20千米；假定：經(jīng)管道運(yùn)輸?shù)奈鬯�流量不發(fā)生改變，污水經(jīng)處理后直接排入河中；請解答下列問題（結(jié)果精確到0.1）
（1）若在城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B單獨(dú)建廠，共需多少總費(fèi)用？
（2）考慮聯(lián)合建廠可能節(jié)約總投資，設(shè)城鎮(zhèn)A到擬建廠的距離為x千米，求聯(lián)合建廠的總費(fèi)用y與x的函數(shù)關(guān)系
式，并求y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件直接求解在城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B單獨(dú)建廠，共需總費(fèi)用．
（2）列出函數(shù)的解析式，利用平方，轉(zhuǎn)化通過二次函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（1）分別單獨(dú)建廠，
共需總費(fèi)用：y₁=25×3^0.7+25×5^0.7≈131.1萬元．
（2）聯(lián)合建廠，共需總費(fèi)用y=25×（3+5）^0.7+$3.2•\sqrt{x}$$+3.2\sqrt{20-x}$（0≤x≤20）
令h（x）=$\sqrt{x}+\sqrt{20-x}$（0≤x≤20），
可得h²（x）=20+2$\sqrt{x（20-x）}$=20+2$\sqrt{-（x-10）^{2}+100}$∈[20，40]，
121.5≈25×${8}^{0.7}+3.2×\sqrt{20}$≤y≤$25×{8}^{0.7}+3.2×\sqrt{40}$≈127.4，
y的取值范圍：[121.5，127.4]．

點評 本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．