Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（3-a）x-3，x≤7}\\{{a^{x-6}}，x＞7}\end{array}}\right.$，數(shù)列{a_n}滿足：a_n=f（n）（n∈N^*），且對(duì)于任意的正整數(shù)m，n，都有$\frac{{{a_m}-{a_n}}}{m-n}＞0$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，3）．

Answer 1

分析 由題意得到數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，即可得到1＜a＜3且f（7）＜f（8），解得即可．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足：a_n=f（n）（n∈N^*），且對(duì)于任意的正整數(shù)m，n，都有$\frac{{{a_m}-{a_n}}}{m-n}＞0$，
∴數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
∴1＜a＜3且f（7）＜f（8），
∴7（3-a）-3＜a²，解得a＜-9或a＞2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，3）．
故答案為（2，3）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的函數(shù)特征和分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．