Question

設a為函數(shù)f（x）=x²+2α

1-x2

+α²-6α+13，設t=

1-x2

．
（1）求t的取值范圍并將f（x）表示為關于t的函數(shù)g（t）；
（2）求函數(shù)g（t）的最大值m，用a表示．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由t=

1-x2

可得0≤t≤1；從而求g（t）=1-t²+2at+α²-6α+13=-（t-a）²+2a²-6a+14，t∈[0，1]；
（2）由g（t）=-（t-a）²+2a²-6a+14，t∈[0，1]討論a以確定函數(shù)的最大值，從而寫出最大值．

解答： 解：（1）t=

1-x2

，則0≤t≤1；
x²=1-t²；
則g（t）=1-t²+2at+α²-6α+13
=-（t-a）²+2a²-6a+14，t∈[0，1]；
（2）g（t）=-（t-a）²+2a²-6a+14，t∈[0，1]；
當a≤0時，g_max（t）=g（0）=a²-6a+14，
當0＜a＜1時，g_max（t）=g（a）=2a²-6a+14，
當a≥1時，g_max（t）=g（1）=α²-4α+13．
故g_max（t）=

a2-6a+14，a≤0 2a2-6a+14，0＜a＜1 a2-4a+13，a≥1

．

點評：本題考查了換元法的應用及分段函數(shù)的應用，屬于中檔題．