Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）對所有的實(shí)數(shù)m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0成立，f（2）=-4．
①求f（0），f（1），f（3）的值．
②證明函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞m=n=0減．
③解不等式f（x²）+f（2x）＜-6．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法分別求出三個函數(shù)值；
（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及已知條件，利用構(gòu)造的方法證明即可；
（3）結(jié)合單調(diào)性，構(gòu)造出關(guān)于x的不等式（組）求解即可．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）對所有的實(shí)數(shù)m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）．
①令m=n=0得f（0）=0．
令m=n=1得2f（1）=f（2）=-4，所以f（1）=-2
∴f（3）=f（2）+f（1）=-6．
②由已知得f（m+n）-f（m）=f（n）
令x₁＞x₂，且x₁，x₂∈R
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），
因x₁＞x₂，∴f（x₁-x₂）＜0即 f（x₁）＜f（x₂）
函數(shù)f（x）在R單調(diào)遞減．
③因?yàn)閒（3）=-6，所以不等式可化為，
∴f（x²+2x）＜f（3），
因?yàn)閒（x）為為R上的減函數(shù)，
所以x²+2x＞3，
解得x＞1或x＜-3．

點(diǎn)評：本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性的定義解決函數(shù)的單調(diào)性問題，利用賦值法求函數(shù)值的方法．屬于中檔題，要注意將函數(shù)與方程、不等式有機(jī)結(jié)合起來．