Question

如圖,四棱柱的底面是平行四邊形,且,,,為的中點,平面.

(Ⅰ)證明:平面平面；
(Ⅱ)若,試求異面直線與所成角的余弦值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試求二面角的余弦值.

Answer 1

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

試題分析：(Ⅰ)證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直問題，即某一個平面中的某條直線垂直于另一個平面.然后將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線垂直問題，即該直線與平面中的兩條相交直線垂直.在本題中，我們選取的是平面中的直線，因為易知，那么只需要在平面再找一條直線垂直于即可.因為底面是平行四邊形,且,,,為的中點，所以可以證，從而得證；(Ⅱ)求異面直線所成角，一般將兩條異面直線平移到一個公共點上以便求出其夾角.這里，我們選擇將直線平移至點，所以需要取的中點,連接，易知即所求，將其放在求出余弦值.(Ⅲ)二面角的余弦值可以通過建立空間直角坐標系用向量來解決.其中前兩問又可以用向量來解決.第一問的面面垂直可以用兩個平面的法向量垂直來證明，即法向量的數(shù)量積為0，第二問用向量的夾角公式直接解出（需注意異面直線角的范圍）.二面角同樣可以用兩個半平面的法向量的夾角解決，不過這里要注意所求的二面角是銳角還是鈍角，從而選擇是法向量夾角還是其補角為所求.
試題解析：(Ⅰ)依題意,,
所以是正三角形,
又 
所以,     2分
因為平面,平面,所以     3分
因為,所以平面     4分
因為平面,所以平面平面      5分
(Ⅱ)取的中點,連接、,連接,則
所以是異面直線與所成的角      7分
因為,,
所以,, 
所以     9分
解法2：以為原點，過且垂直于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立右手空間直角坐標系.

設(shè)
則，，
(Ⅰ)設(shè)平面的一個法向量為，
則
，取，則，從而，
同理可得平面的一個法向量為，
直接計算知，所以平面平面.
(Ⅱ)由即       
解得                                                        
, 
所以異面直線與所成角的余弦值
 
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面的一個法向量為 
又,設(shè)平面的法向量則得     11分
設(shè)二面角的平面角為,且為銳角
則     13分
所以二面角的余弦值為     14分