Question

5．設F₁、F₂分別為雙曲線$C：{x^2}-\frac{y^2}{24}=1$的左、右焦點，P為雙曲線C在第一象限上的一點，若$\frac{{|P{F_1}|}}{{|P{F_2}|}}=\frac{4}{3}$，則△PF₁F₂內切圓的面積為4π．

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，運用雙曲線的定義，結合條件可得|PF₁|=8，|PF₂|=6．可得△PF₁F₂為直角三角形，設內切圓的半徑為r，運用面積相等，解方程可得r=2，即可得到所求面積．

解答 解：雙曲線$C：{x^2}-\frac{y^2}{24}=1$的a=1，b=2$\sqrt{6}$，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=5，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a=2，
又$\frac{{|P{F_1}|}}{{|P{F_2}|}}=\frac{4}{3}$，
解得|PF₁|=8，|PF₂|=6．
|F₁F₂|=2c=10，
即有8²+6²=10²，
可得△PF₁F₂為直角三角形，
設內切圓的半徑為r，可得
$\frac{1}{2}$r（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|，
即有r（8+6+10）=8×6，
解得r=2，
可得內切圓的面積為4π．
故答案為：4π．

點評 本題考查三角形的內切圓的面積，注意運用等積法，判斷△PF₁F₂為直角三角形是解題的關鍵，同時考查雙曲線的定義，屬于中檔題．