Question

8．如圖，拋物線y=-x²+4交x軸于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C
（1）求△ABC的面積；
（2）在拋物線上求點(diǎn)P，使S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
（3）拋物線y=-x²+4上是否存在點(diǎn)Q，使∠AQB=90°若存在，求出該點(diǎn)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得A，B，C的坐標(biāo)，運(yùn)用三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值；
（2）設(shè)P（m，4-m²），由S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，運(yùn)用面積公式，計(jì)算即可得到P的坐標(biāo)；
（3）假設(shè)拋物線y=-x²+4上存在點(diǎn)Q（n，4-n²），使∠AQB=90°．即有k_AQ•k_BQ=-1，運(yùn)用直線的斜率公式，解方程可得Q的坐標(biāo)，即可判斷存在．

解答 解：（1）由題意可得A（2，0），B（-2，0），C（0，4），
則△ABC的面積為$\frac{1}{2}$×4×4=8；
（2）設(shè)P（m，4-m²），由S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，可得：
$\frac{1}{2}$×4|4-m²|=$\frac{1}{2}$×8，
解得m=±$\sqrt{2}$或±$\sqrt{6}$，
即有P（±$\sqrt{2}$，2）或（±$\sqrt{6}$，-2）；
（3）假設(shè)拋物線y=-x²+4上存在點(diǎn)Q（n，4-n²），使∠AQB=90°．
即有k_AQ•k_BQ=-1，
即為$\frac{4-{n}^{2}}{n-2}$•$\frac{4-{n}^{2}}{n+2}$=-1，
由n≠2，且n≠-2，可得4-n²=1，
解得n=±$\sqrt{3}$，
故存在Q，且Q（-$\sqrt{3}$，1），或（$\sqrt{3}$，1），使∠AQB=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)及運(yùn)用，考查三角形的面積的求法，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．