Question

3．已知點P（-1，1）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，c為橢圓的半焦距，且c=$\sqrt{2}$b．過點P作兩條互相垂直的直線l₁、l₂與橢圓C分別交于另兩點M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若線段MN的中點在x軸上，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （1）由條件得$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，且c²=2b²，a²=3b²，解出即可得出．
（2）解法1：若直線l₁斜率為0，則直線l₂斜率不存在，可得所求直線MN的方程為x+y=0；同理可得，當直線l₂斜率為0，直線l₁斜率不存在時，所求直線MN的方程為x+y=0．若直線l₁斜率存在且不為0，設l₁方程為y+1=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+3k²）x²+6k（k-1）x+3（k-1）²-4=0．解得M，N坐標，根據(jù)線段MN中點在x軸上，解得k即可得出．
解法2：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x_1}^2+3{y_1}^2=4，{x_2}^2+3{y_2}^2=4$，兩式相減得根據(jù)線段MN的中點在x軸上，可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0． 分類討論，利用相互垂直與數(shù)量積的關系即可得出．

解答 解：（1）由條件得$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，且c²=2b²，
∴a²=3b²，解得${b^2}=\frac{4}{3}$，a²=4． 
∴橢圓方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$．
（2）解法1：若直線l₁斜率為0，則直線l₂斜率不存在，此時M（1，-1），N（-1，1），滿足兩點連線段中點在x軸上，所求直線MN的方程為x+y=0；
同理可得，當直線l₂斜率為0，直線l₁斜率不存在時，所求直線MN的方程為x+y=0．
若直線l₁斜率存在且不為0，設l₁方程為y+1=k（x+1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+k-1\\{x^2}+3{y^2}=4\end{array}\right.$，消去y得（1+3k²）x²+6k（k-1）x+3（k-1）²-4=0．
∵P為（-1，-1），解得$M（\frac{{-3{k^2}+6k+1}}{{1+3{k^2}}}，\frac{{3{k^2}+2k-1}}{{1+3{k^2}}}）$，
用$-\frac{1}{k}$代替k，得$N（\frac{{{k^2}-6k-3}}{{{k^2}+3}}，\frac{{-{k^2}-2k+3}}{{{k^2}+3}}）$．
∵線段MN中點在x軸上，則$\frac{{3{k^2}+2k-1}}{{1+3{k^2}}}+\frac{{-{k^2}-2k+3}}{{{k^2}+3}}=0$，
整理得：k³-4k²-k=0，∵k≠0，解得$k=2±\sqrt{5}$．
此時$M（{-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}），N（{-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$，或者$M（{-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{5}}}{2}}），N（{-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$．
所求直線MN的方程為$x=-\frac{1}{2}$．
綜上可得，所求直線MN的方程為x+y=0或者$x=-\frac{1}{2}$．
解法2：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x_1}^2+3{y_1}^2=4，{x_2}^2+3{y_2}^2=4$，
兩式相減得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
∵線段MN的中點在x軸上，∴y₁+y₂=0，從而可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0． 
若x₁+x₂=0，則N（-x₁，-y₁）．
∵PM⊥PN，∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，得${x_1}^2+{y_1}^2=2$．
又∵${x_1}^2+3{y_1}^2=4$，∴解得x₁=±1，
∴M（-1，1），N（1，-1）或M（1，-1），N（-1，1）．
∴直線MN的方程為y=-x．  
若x₁-x₂=0，則N（x₁，-y₁），
∵PM⊥PN，∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，得${y_1}^2={（{x_1}+1）^2}+1$．
又∵${x_1}^2+3{y_1}^2=4$，∴解得${x_1}=-\frac{1}{2}$或-1，
經(jīng)檢驗：${x_1}=-\frac{1}{2}$滿足條件，x₁=-1不滿足條件．
綜上，直線MN的方程為x+y=0或$x=-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為一元二次方程的根與系數(shù)的關系、向量垂直與數(shù)列解得關系、中點坐標公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．