Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₂=3，S₅=25，正項數(shù)列{b_n}滿足${b_1}{b_2}{b_3}…{b_n}={（{\sqrt{3}}）^{s_n}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若（-1）ⁿλ＜2+$\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{a_n}$對一切正整數(shù)n均成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知利用等差數(shù)前n項和、通項公式能求出首項和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式；由${b_1}{b_2}…{b_n}={（{\sqrt{3}}）^{S_n}}$，得${b_1}{b_2}{b_3}…{b_{n-1}}={（{\sqrt{3}}）^{{S_{n-1}}}}$，兩式相除能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）由已知條件根據(jù)n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況分類討論，能求出實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₅=25，
∴S₅=5a₃=25，故a₃=5，
又a₂=3，則d=a₃-a₂=5-3=2，故a_n=2n-1，
∵正項數(shù)列{b_n}滿足${b_1}{b_2}…{b_n}={（{\sqrt{3}}）^{S_n}}$，
∴${b_1}{b_2}{b_3}…{b_{n-1}}={（{\sqrt{3}}）^{{S_{n-1}}}}$，n≥2
兩式相除得${b_n}={（{\sqrt{3}}）^{2n-1}}（{n≥2}）$，
又${b_1}={（{\sqrt{3}}）^{S_1}}={（{\sqrt{3}}）^1}$滿足上式，
故${b_n}={（{\sqrt{3}}）^{2n-1}}（{n≥1}）$
（2）${（{-1}）^n}λ＜2+\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{a_n}$，即（-1）ⁿλ＜2+$\frac{（-1）^{n+1}}{2n-1}$對一切正整數(shù)n均成立，
①n為奇數(shù)時，$λ＞-2-\frac{1}{2n-1}$恒成立，則λ≥-2
②n為偶數(shù)時，$λ＜2-\frac{1}{2n-1}$恒成立，則$λ＜\frac{5}{3}$
綜上$-2≤λ＜\frac{5}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．