Question

15．已知圓C：x²+y²-6x+4y+12=0，點(diǎn)P在圓上，求點(diǎn)P到直線l：x+y-5=0的最大距離和最小距離，并求最遠(yuǎn)點(diǎn)及最近點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 在圓C：x²+y²-6x+4y+12=0上，與直線l：x+y-5=0的距離最小、最大的點(diǎn)，必在過圓心與直線l：x+y-5=0的垂直的直線上，求此線與圓的交點(diǎn)即可；最小（大）值為圓心到直線的距離減去（加上）半徑，所以只要求得圓心到直線的距離即可．

解答 解：圓C：x²+y²-6x+4y+12=0，可化為（x-3）²+（y+2）²=1
圓的圓心C（3，-2），r=1，過圓心與直線l：x+y-5=0垂直的直線方程：x-y-5=0，
它與x²+y²-6x+4y+12=0聯(lián)立，可得2x²-12x+17=0，x=3±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
直線l上到圓C距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），最小距離為$\frac{|3-2-5|}{\sqrt{2}}$-1=2$\sqrt{2}$-1．
直線l上到圓C距離最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），最大距離為$\frac{|3-2-5|}{\sqrt{2}}$+1=2$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系，直線的方程等知識，是中檔題．