Question

14．命題p：“?x₀∈[0，$\frac{π}{4}$]，sin2x₀+cos2x₀＞a”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a＜1
• B． a＜$\sqrt{2}$
• C． a≥1
• D． a≥$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 特稱(chēng)命題轉(zhuǎn)化為全稱(chēng)命題，求出sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：“?x₀∈[0，$\frac{π}{4}$]，sin2x₀+cos2x₀＞a”是假命題，
即?x∈[0，$\frac{π}{4}$]，sin2x+cos2x≤a是真命題，
由sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤a，
得：sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{a}{\sqrt{2}}$，
由x∈[0，$\frac{π}{4}$]得：2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
故sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最大值是1，
故只需$\frac{a}{\sqrt{2}}$≥1，解得：a≥$\sqrt{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了特稱(chēng)命題轉(zhuǎn)化為全稱(chēng)命題，考查三角函數(shù)問(wèn)題，是一道中檔題．