Question

8．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為是$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
（1）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；
（2）在曲線C上求一點(diǎn)P，使得它到直線l的距離最大，并求出最大距離．

Answer 1

分析 （1）把直線l參數(shù)方程化為普通方程，曲線C極坐標(biāo)方程化為普通方程，求出圓心C到直線l的距離d，與r比較大小即可作出判斷；
（2）圓上一點(diǎn)P到直線l距離最大為d+r，求出過(guò)圓心與直線l垂直的直線方程，與圓方程聯(lián)立確定出此時(shí)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：直線l的方程為x-y-1=0，曲線C的方程為x²+（y-2）²=4，
即圓心C（0，2），半徑r=2，
∵圓心C到直線l的距離d=$\frac{|0-2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$＞2=r，
∴直線l與曲線C相離；
（2）根據(jù)題意得：點(diǎn)P到直線l的最大距離為d+r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2，
過(guò)圓心且垂直于直線l的直線方程為y=-x+2，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{（y-2）^2}=4\\ y=-x+2\end{array}\right.$，
消去y得：x²=4，
解得：x=-$\sqrt{2}$（正值不合題意，舍去），
則在曲線C上存在一點(diǎn)P（-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），
使得它到直線l的距離最大為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了參數(shù)方程化為普通方程，以及極坐標(biāo)方程化為普通方程，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．