Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E為棱CC₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AE與DD₁所成角的大�。ńY(jié)果用反三角表示）；   （2）求四面體AED₁D的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AA₁的中點(diǎn)為F，連接EF，根據(jù)D₁D∥AA₁則∠FAE為異面直線AE與DD₁所成角，在三角形∠FAE中求出此角的正切值，最后用反三角表示即可；
（2）由題意可知點(diǎn)E到側(cè)面ADD₁A₁的距離為2，然后根據(jù)等體積法可知V _A-ED1D=V _E-AD1D，最后利用錐體的體積公式進(jìn)行求解即可．
解答：解：（1）取AA₁的中點(diǎn)為F，連接EF
∵D₁D∥AA₁
∴∠FAE為異面直線AE與DD₁所成角
AA₁=2，則AF=1，EF=
∴tan∠FAE=則∠FAE=arctan
（2）S_△AD1D==2，點(diǎn)E到側(cè)面ADD₁A₁的距離為2
V _A-ED1D=V _E-AD1D=×2×2=
∴四面體AED₁D的體積為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及四面體的體積的度量，同時(shí)考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化與化歸運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵，易錯(cuò)求體積時(shí)不要忘了乘．