Question

給出以下命題：
（1）若∫

b a

f（x）dx＞0，則f（x）＞0；    
（2）∫

2π 0

|sinx|dx=4；
（3）f（x）的原函數(shù)為F（x），且F（x）是以T為周期的函數(shù)，則∫

a 0

f（x）dx=∫

a+T T

f（x）dx；
其中正確的命題為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)微積分基本定理，得出）∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，可以看到與f（x）正負(fù)無(wú)關(guān)．
（2）注意到sinx在[0，2π]的取值符號(hào)不同，根據(jù)微積分基本運(yùn)算性質(zhì)，化為∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx求解，判斷．
（3）根據(jù)微積分基本定理，兩邊分別求解，再結(jié)合F（a+T）=F（a），F(xiàn)（T）=F（0）即可判定．

解答： 解：對(duì)于（1）由∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，得F（b）＞F（a），未必f（x）＞0．故（1）錯(cuò)誤；
對(duì)于（2））∫₀^2π|sinx|dx=

∫

π 0

sinxdx+

∫

2π π

（-sinx）dx=-cosx|

π 0

+cosx|

2π π

=2+2=4，故（2）正確；
對(duì)于（3）∫₀^af（x）dx=F（a）-F（0），∫_T^a+Tf（x）dx=F（a+T）-F（T）=F（a）-F（0），則∫₀^af（x）dx=∫_T^a+Tf（x）dx，故（3）正確．
故答案為：（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題借助于命題真假的判斷與應(yīng)用，考查微積分基本定理，微積分基本運(yùn)算性質(zhì)．屬于中檔題．