Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，高AA₁=2，求：
（1）直線AC₁與平面AA₁B₁B所成角的大小；
（2）二面角B-AC₁-D的大小；
（3）四面體ABDC₁的體積．

Answer 1

解：（1）連接AB₁，∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，AB₁是AC₁在平面AA₁B₁B上的射影，
∴∠C₁AB₁就是AC₁與平面AA₁B₁B所成的角，
在△C₁AB₁中，，
，
∴直線AC₁與平面AA₁B₁B所成的角為．
（2）過B作BE⊥AC，垂足為E，連接ED，
∵△ABC₁≌△ADC₁，∴∠BAC₁=∠DAC₁，
∵AB=AD，∠BAC₁=∠DAC₁，AE=AE
∴△ABE≌△ADE，
∴
∴∠BED是二面角B-AC₁-D的平面角，
在△BED中，，，，
∴
∴二面角B-AC₁-D的大小為．
（3）=．
分析：（1）連接AB₁，由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，AB₁是AC₁在平面AA₁B₁B上的射影，故∠C₁AB₁就是AC₁與平面AA₁B₁B所成的角，由此能求出直線AC₁與平面AA₁B₁B所成的角．
（2）過B作BE⊥AC，垂足為E，連接ED，由△ABC₁≌△ADC₁，知∠BAC₁=∠DAC₁，由AB=AD，∠BAC₁=∠DAC₁，AE=AE，知△ABE≌△ADE，由此能求出二面角B-AC₁-D的大�。�
（3），由此能求出四面體ABDC₁的體積．
點評：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查二面角面積的求法，考查四面體體積的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．