Question

18．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，若對任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx²成立，則實數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{1}{2}$）
• B． （-∞，-$\frac{1}{2}$]
• C． （-∞，-2]
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 由題意任意的x∈[0，+∞），有f（x）≥kx²成立，可以令g（x）=f（x）-x²，求出g（x）的最大值小于0即可，可以利用導數(shù)研究g（x）的最值．

解答 解：當k≥0時，取x=1，有f（1）=ln2-1＜0，故k≥0不合題意；
當k＜0時，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=ln（x+1）-x-kx²，
求導函數(shù)可得g′（x）=$\frac{-x[2kx+（2k+1）]}{x+1}$，
令g′（x）=0，可得x₁=0，x₂=-$\frac{2k+1}{2k}$=-1-$\frac{1}{2k}$＜-1，
當k＜-$\frac{1}{2}$時，-1-$\frac{1}{2k}$＜0，g′（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
g（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴g（x）≥g（0）=0，
∴對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≥kx²成立；
當-$\frac{1}{2}$＜k＜0時，x₂=-1-$\frac{1}{2k}$＞0，
g（x）在（0，-1-$\frac{1}{2k}$）上g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
g（x）在（-1-$\frac{1}{2k}$，+∞）上g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
因此存在x₀∈（0，-1-$\frac{1}{2k}$）使得g（x₀）≤g（0）=0，
可得ln（x₀+1）-x₀＜kx₀²，即f（x₀）＜kx₀²，與題意矛盾；
∴綜上：k≤-$\frac{1}{2}$時，對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≥kx²成立，
∴實數(shù) k的最小值為：（-∞，-$\frac{1}{2}$]；
故選：B．

點評 此題考查函數(shù)的恒成立問題，第二問構造新函數(shù)，將問題轉化為g（x）的最大值小于等于0，即可，這種轉化的思想在高考中經(jīng)常會體現(xiàn)，我們要認真體會．