Question

9．已知遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂=4，a₁+a₂+a₃=14
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列{a_n}中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意可得q的方程，解方程驗(yàn)證遞增可得；
（2）反證法：假設(shè)數(shù)列{a_n}中三項(xiàng)a_m，a_n，a_p且m＜n＜p，由等差數(shù)列可得mnp的式子，推理產(chǎn)生奇數(shù)等于偶數(shù)的矛盾可得．

解答 （1）解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由題意可得a₁+a₂+a₃=$\frac{4}{q}+4+4q=14$，
解得q=$\frac{1}{2}$或q=2，又a₂=4且{a_n}是遞增的等比數(shù)列，
∴q=2，∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={2^n}$；
（2）證明：假設(shè)數(shù)列{a_n}中三項(xiàng)a_m，a_n，a_p且m＜n＜p，
∴由等差數(shù)列可得2a_n=a_m+a_p，
∴2ⁿ=2^m-1+2^p-1，∴2^n-m+1=1+2^p-m…（*），
∵m＜n＜p，∴p-m≥2，n-m≥1，
∴（*）式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，矛盾，
∴數(shù)列{a_n}中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等差數(shù)列

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及反證法和解方程的思想，屬中檔題．