Question

已知函數(shù)（、為常數(shù)），在時取得極值．

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；

（3）數(shù)列滿足（且），，數(shù)列的前項和為，

求證：（,是自然對數(shù)的底）．

 

Answer 1

（1）且；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）求實數(shù)的取值范圍，因為函數(shù)在時取得極值，故在有定義，得，可對函數(shù)求導(dǎo)得，，則是的根，這樣可得的關(guān)系是，再由的范圍可求得的取值范圍；（2）當時，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍，當時，由得，代入得 ，對求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，即可得函數(shù)的最小值；（3）求證：，即證，因此需求出數(shù)列的通項公式及前項和為，由數(shù)列滿足（且），，得，即，可求得，它的前項和為不好求，由此可利用式子中出現(xiàn)代換，由（2）知，令得，，取，疊加可證得結(jié)論．

試題解析：（1） ∵在有定義 ∴

∴是方程的根，且不是重根

∴ 且 又 ∵ ∴且 4分

（2）時 即方程在上有兩個不等實根

即方程在上有兩個不等實根

令

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

當時，且當時，

∴當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 8分

（3） ∴ ∴ ∴

∴ 10分

由（2）知

代 得 即

∴

累加得

即 ∴ 得證 14分

考點：函數(shù)的極值，函數(shù)的最值，數(shù)列的通項公式，數(shù)列求和，函數(shù)的單調(diào)性．