Question

5．甲、乙、丙三人準(zhǔn)備報(bào)考某大學(xué)，假設(shè)甲考上的概率為$\frac{2}{5}$，甲，丙兩都考不上的概率為$\frac{6}{25}$，乙，丙兩都考上的概率為$\frac{3}{10}$，且三人能否考上相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自考上的概率；
（Ⅱ）設(shè)X表示甲、乙、丙三人中考上的人數(shù)與沒(méi)考上的人數(shù)之差的絕對(duì)值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，由已知條件利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出乙、丙兩人各自考上的概率．
（Ⅱ）由題意X的可能取值為1，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，
則P（A）=$\frac{2}{5}$，且$\left\{\begin{array}{l}{（1-\frac{2}{5}）（1-P（C））=\frac{6}{25}}\\{P（B）P（C）=\frac{3}{10}}\end{array}\right.$，
解得P（C）=$\frac{3}{5}$，P（B）=$\frac{1}{2}$．
∴乙考上的概率為$\frac{1}{2}$，丙考上的概率為$\frac{3}{5}$．
（Ⅱ）由題意X的可能取值為1，3，
P（X=1）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{19}{25}$，
P（X=3）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$=$\frac{6}{25}$，
∴X的分布列為：

X	1	3
P	$\frac{19}{25}$	$\frac{6}{25}$

EX=$1×\frac{19}{25}+2×\frac{6}{25}$=$\frac{31}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．