Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}（cosθ+sinθ）}\\{y=\sqrt{2}（cosθ-sinθ）}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C與l的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{3}$）和（2，$\frac{π}{6}$），
（1）求直線l的普通方程；
（2）設(shè)P點(diǎn)為曲線C上的任意一點(diǎn)，求P點(diǎn)到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）將交點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，使用兩點(diǎn)式方程得出l的普通方程；
（2）將C的參數(shù)方程代入點(diǎn)到直線的距離公式，求出最大距離．

解答 解：（1）直線l與曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別是（2cos$\frac{π}{3}$，2sin$\frac{π}{3}$），（2cos$\frac{π}{6}$，2sin$\frac{π}{6}$），即（1，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，1）．
∴直線l的普通方程為$\frac{y-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{x-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$，即x+y-$\sqrt{3}-1$=0．
（2）點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{2}（cosθ+sinθ）+\sqrt{2}（cosθ-sinθ）-\sqrt{3}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2\sqrt{2}cosθ-\sqrt{3}-1|}{\sqrt{2}}$．
∴當(dāng)cosθ=-1時(shí)，d取得最大值$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{4+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程在求距離中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．