Question

已知偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-

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f(x)

，且當x∈[-1，0]時，f（x）=x²，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+2）有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)的零點與方程根的關系

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)f（x+1）=-

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f(x)

，可得f（x）是周期為2的周期函數(shù)． 再由f（x）是偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，可得函數(shù)在[-1，3]上的解析式．根據(jù)題意可得函數(shù)y=f（x）的圖象與y=log_a（x+2有4個交點，即可得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-

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f(x)

，故有f（x+2）=f（x），
故f（x）是周期為2的周期函數(shù)．
再由f（x）是偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，
可得當x∈[-1，0]時，f（x）=x²，故當x∈[-1，1]時，f（x）=x² ，當x∈[1，3]時，f（x）=（x-2）²．
由于函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+2）有4個零點，故函數(shù)y=f（x）的圖象與y=log_a（x+2）有4個交點，
所以可得1≥log_a（3+2），
∴實數(shù)a的取值范圍是[5，+∞）．
故答案為：[5，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的周期性的應用，函數(shù)的零點與方程的根的關系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．