Question

設(shè)正△ABC的面積為2，邊AB，AC的中點分別為D，E，M為線段DE上的動點，則

MB

•

MC

+

BC

2的最小值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，設(shè)正三角形ABC的邊長為a，則

3

4

a2=2，解得a2=

8

3

．則B（-

1

2

a，0），C（

1

2

a，0），D(-

1

4

a，

1

4

a)，E(

1

4

a，

1

4

a)．設(shè)

DM

=k

DE

（0≤k≤1）．可得

OM

=

OD

+k

DE

=(

1

2

ka-

1

4

a，

1

4

a)．

MB

=(-

1

2

ka-

1

4

a，-

1

4

a)，

MC

=(

3

4

a-

1

2

ka，-

1

4

a)，

BC

2=a²．可得

MB

•

MC

+

BC

2=

1

4

a2(k-

1

2

)2+

3

4

a2，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：如圖所示，
設(shè)正三角形ABC的邊長為a，則

3

4

a2=2，解得a2=

8

3

．
則B（-

1

2

a，0），C（

1

2

a，0），D(-

1

4

a，

1

4

a)，E(

1

4

a，

1

4

a)．
設(shè)

DM

=k

DE

（0≤k≤1）．
∴

OM

=

OD

+k

DE

=(-

1

4

a，

1

4

a)+k(

1

2

a，0)=(

1

2

ka-

1

4

a，

1

4

a)．
∴

MB

=(-

1

2

ka-

1

4

a，-

1

4

a)，

MC

=(

3

4

a-

1

2

ka，-

1

4

a)，
∴

MB

•

MC

+

BC

2=(-

1

2

ka-

1

4

a)(

3

4

a-

1

2

ka)+

1

16

a2+a²
=a2(

1

4

k2-

1

4

k-

3

16

)+a²
=

1

4

a2(k-

1

2

)2+

3

4

a2，
當(dāng)k=

1

2

時，

MB

•

MC

+

BC

2的最小值為

3

4

a2=

3

4

×

8

3

=2

3

．
故答案為：2

3

．

點評：本題考查了向量的線性運算、數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．