Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，頂點(diǎn)A（a，0），B（0，b），中心O到直線AB的距離為$\frac{2}{\sqrt{3}}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)P滿足：$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OM}$+2μ$\overrightarrow{ON}$，其中M，N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，若Q（λ，μ）為一動(dòng)點(diǎn)，E₁（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），E₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）為兩定點(diǎn)，求|QE₁|+|QE₂|的值．

Answer 1

分析 （1）利用離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，中心O到直線AB的距離為$\frac{2}{\sqrt{3}}$．列出方程求出a，b，即可求解橢圓方程．
（2）設(shè)P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用$\overrightarrow{OP}$=$λ\overrightarrow{OM}$+2μ$\overrightarrow{ON}$得，結(jié)合點(diǎn)P，M，N在橢圓上，
通過(guò)k_QM•k_QN=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，得到λ²+4μ²=1，由橢圓的定義，推出|QF₁|+|QF₂|=2即可．

解答 解：（1）因?yàn)橹本�AB的方程為ax+by-ab=0．所以$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
由已知得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故可解得a=2，b=$\sqrt{2}$；
所以橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$
（2）設(shè)P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由$\overrightarrow{OP}$=$λ\overrightarrow{OM}$+2μ$\overrightarrow{ON}$得，x=λx₁+2μx₂，y=λy₁+2μy₂
因?yàn)辄c(diǎn)P，M，N在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$上，
所以x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，x²+2y²=4
故x²+2y²=λ²（x₁²+2y₁²）+4μ²（x₂²+2y₂²）+4λμ（x₁x₂+2y₁y₂）=4λ²+16μ²+4λμ（x₁x₂+2y₁y₂）=4
設(shè)k_QM，k_QN分別為直線OM，ON的斜率，由題意知，k_QM•k_QN=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
因此x₁•x₂+2y₁y₂=0，所以λ²+4μ²=1，
λ²+$\frac{{μ}^{2}}{\frac{1}{4}}$=1，可知表達(dá)式是橢圓，a=1，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
而E₁，E₂恰為橢圓的左右焦點(diǎn)，
所以由橢圓的定義，|QF₁|+|QF₂|=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．