Question

4．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與射線y=$\sqrt{3}$x（x≥0）交于點(diǎn)Q，與x軸交于點(diǎn)M．記∠MOP=α，且α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）若sinα=$\frac{1}{3}$，求cos∠POQ；
（Ⅱ）求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 ﹙Ⅰ﹚同角三角的基本關(guān)系求得cosα的值，再利用兩角差的余弦公式求得cos∠POQ的值．
（Ⅱ）利用用割補(bǔ)法求三角形POQ的面積，再利用正弦函數(shù)的值域，求得它的最值．

解答 解：﹙Ⅰ﹚因?yàn)?sinα=\frac{1}{3}$，且$α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，所以$cosα=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
所以$cos∠POQ=cos（\frac{π}{3}-α）=cos\frac{π}{3}cosα+sin\frac{π}{3}sinα=\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{6}$．
（Ⅱ）由三角函數(shù)定義，得P（cosα，sinα），從而$Q（cosα，\sqrt{3}cosα）$，
所以 ${S_{△POQ}}=\frac{1}{2}|cosα||\sqrt{3}cosα-sinα|$=$\frac{1}{2}|\sqrt{3}{cos^2}α-sinαcosα|$=$\frac{1}{2}|\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}cos2α}}{2}-\frac{1}{2}sin2α|=\frac{1}{2}|\frac{{\sqrt{3}}}{2}+sin（\frac{π}{3}-2α）|$
$≤\frac{1}{2}|\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1|=\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{1}{2}$．
因?yàn)?α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，所以當(dāng)$α=-\frac{π}{12}$時(shí)，等號(hào)成立，
所以△OPQ面積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角三角函數(shù)的定義，正弦函數(shù)的值域，用割補(bǔ)法求三角形的面積，屬于中檔題．