Question

3．定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈R都有f（-x）=-f（x）且當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=x²-2x，則不等式xf（x）＜0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（0，2）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 當(dāng)x≥0時(shí)，不等式xf（x）＜0即x（x²-2x）＜0，解得即可．由于函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R滿(mǎn)足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．因此當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-（x²+2x），于是不等式xf（x）＜0即-x（x²+2x）＜0，解出即可．

解答 解：當(dāng)x≥0時(shí)，不等式xf（x）＜0即x（x²-2x）＜0，解得0＜x＜2．
∵函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R滿(mǎn)足f（-x）=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-（x²+2x），∴不等式xf（x）＜0即-x（x²+2x）＜0，
解得-2＜x＜0．
綜上可得：不等式xf（x）＞0的解集是（-2，0）∪（0，2）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．