Question

12．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件f（2-x）=f（x-1），且方程f（x）=x有兩個相等的實(shí)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）-f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]與[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合一元二次函數(shù)的圖形特征，列出-$\frac{2a}$=$\frac{1}{2}$與△=0；
（2）根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系來分類討論；
（3）觀察圖形知2n$≤\frac{1}{4}$⇒n$≤\frac{1}{8}$； f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+m=2m}\\{-{n}^{2}+n=2n}\end{array}\right.$

解答 解：（1）由題意知f（x）=ax²+bx關(guān)于x=$\frac{1}{2}$對稱
∴-$\frac{2a}$=$\frac{1}{2}$
ax²+bx=x有兩個相等的實(shí)根，∴△=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$  
所以，f（x）=-x²+x；
（2）F（x）=kx+1+x²-x=x²+（k-1）x+1
F（x）的對稱軸為：x=-$\frac{k-1}{2}$
①當(dāng)-$\frac{k-1}{2}$≤1時，F(xiàn)（x）_min=F（1）≤k+1
②當(dāng) 1＜-$\frac{k-1}{2}$≤2時，$F（x）_{min}=1-\frac{（k-1）^{2}}{4}$
③當(dāng)-$\frac{k-1}{2}$＞2 時，F(xiàn)（x）_min=F（2）=2k+3
∴F（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{k+1，k≥-1}\\{1-\frac{（k-1）^{2}}{4}，-3≤k＜-1}\\{2k+3，k＜-3}\end{array}\right.$
（3）f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$
∴2n$≤\frac{1}{4}$⇒n$≤\frac{1}{8}$
∴f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+m=2m}\\{-{n}^{2}+n=2n}\end{array}\right.$
∵m＜n
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=0}\end{array}\right.$

點(diǎn)評 本題主要考查了一元二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，屬中等題．