Question

10．已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna-b（b∈R，a＞0且a≠1），e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，
（1）討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，若存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）≤e-1，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．（參考公式：（a^x）'=a^xlna）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論x的范圍，求出f（x）的最小值，得到關(guān)于b的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
當(dāng)a＞1時(shí)，lna＞0，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，2x＞0，a^x＞1，∴a^x-1＞0，
所以f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，2x＞0，a^x＜1，∴a^x-1＜0，
所以f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
綜上，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
（2）f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
①當(dāng)x＞0時(shí)，由a＞1，可知a^x-1＞0，lna＞0，∴f'（x）＞0；
②當(dāng)x＜0時(shí)，由a＞1，可知a^x-1＜0，lna＞0，∴f'（x）＜0；
③當(dāng)x=0時(shí)，f'（x）=0，∴f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）_min=f（0）=1-b，
若存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）≤e-1，
即f（x）_min≤e-1即可，故1-b≤e-1，
解得：b≥2-e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．