Question

20．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．
（1）若a、b、c成等比數(shù)列，且$cosB=\frac{3}{5}$，求cotA+cotC的值；
（2）若A、B、C成等差數(shù)列，且b=2，求△ABC 的周長l的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先求出sinB的值，再依據(jù)正弦定理及a、b、c成等比數(shù)列得出sin²B=sinAsinC，對cotA+cotC化簡代入即可．
（2）由等差數(shù)列中項的性質(zhì)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求得B，利用正弦定理表示出a與c，進而表示出三角形ABC的周長，由三角函數(shù)的恒等變換，利用余弦函數(shù)的值域即可確定出周長的最大值．

解答 解：（1）∵cosB=$\frac{3}{5}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$，
∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b²=ac，
∴依據(jù)正弦定理得：sin²B=sinAsinC，
∴cotA+cotC
=$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sinCcosA+cosCsinA}{sinAsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{si{n}^{2}B}$
=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{5}{4}$．
（2）∵b=2，A、B、C成等差數(shù)列，
可得2B=A+C=180°-B，即B=60°，
sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，
∵A+C=120°，即C=120°-A，
∴△ABC周長為l=a+b+c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinC）+2
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（120°-A）]+2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×2sin60°cos（A-60°）+2
=4cos（A-60°）+2，
∵0＜A＜120°，∴-60°＜A-60°＜60°，
∴$\frac{1}{2}$＜cos（A-60°）≤1，即4＜4cos（A-60°）+2≤6，
則當A=B=C=60°時，△ABC周長取得最大值為6．

點評 本題考查了正弦定理，等差數(shù)列和等比數(shù)列中項的性質(zhì)以及三角函數(shù)的恒等變換，熟練掌握正弦定理是解本題關(guān)鍵，屬于中檔題．