Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，CC₁=4，M是棱CC₁上的一點．
（1）求證：BC⊥AM；
（2）若N是AB的中點，且CN∥平面AB₁M，求CM的長．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由線面垂直得BC⊥C₁C，又BC⊥AC，從而BC⊥平面ACC₁A₁，由此能證明BC⊥AM．
（2）取AB₁的中點P，連接MP，NP，由三角形中位線定理得NP∥BB₁，從而得到PNCM是平行四邊形，由此能求出CM的長．

解答： （1）證明：∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴C₁C⊥平面ABC，∴BC⊥C₁C，
又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵AM在平面ACC₁A₁上，∴BC⊥AM．
（2）解：取AB₁的中點P，連接MP，NP，
∵P為AB₁中點，N為AB中點，
∴NP為△ABB₁的中位線，∴NP∥BB₁，
又∵C₁C，B₁B都是直三棱柱的棱，∴C₁C∥B₁B，∴MC∥B₁B，
∴NP∥CM，∴NPCM共面，
又∵CN∥平面AB₁M，∴CN

∥

.

MP，∴PNCM是平行四邊形，
∴CM=NP=

1

2

BB₁=

1

2

CC₁=

1

2

×4=2．

點評：本小題線線平行、直線與平面的平行、線面所成角、探索性問題等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．