Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，
M是線段EF的中點．
（1）求證：AM∥平面BDE
（2）求證：DM⊥平面BEF．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結BD，BD∩AC=O，連結EO，由已知得四邊形EOAM為平行四邊形，由此能證明AM∥平面BDE．
（2）由AB=

2

，AF=1，得DF=DE=

3

，從而DM⊥EF，連結BM，得DM⊥BM，由此能證明DM⊥平面BEF．

解答： （1）證明：連結BD，BD∩AC=O，連結EO，
∵E，M為中點，且ACEF為矩形，∴EM∥OA，EM=OA，
∴四邊形EOAM為平行四邊形，∴AM=EO，
∵EO?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
（2）證明：由AB=

2

，AF=1，得DF=DE=

3

，
∵M是線段EF的中點，∴DM⊥EF，
連結BM，得BM=DM=

2

，又BD=2，
∴DM⊥BM，
又BM∩EF=M，∴DM⊥平面BEF．

點評：本題考查線面平行、線面垂直的證明，是中檔題，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關系和性質的合理運用．