已知△ABC三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，重心為G（三角形中三邊中線的交點），若2a
GA
+3b
GB
=3c
CG
，則cosB=
 
．
考點：余弦定理,平面向量的基本定理及其意義
專題：解三角形,平面向量及應用
分析：根據(jù)重心的性質及向量加法的平行四邊形法則得到
GA
=-
1
3
(
CB
-2
CA
)，
GB
=-
1
3
(-2
CB
+
CA
)，
CG
=
1
3
(
CB
+
CA
)分別帶入2a
GA
+3b
GB
=3c
CG
并根據(jù)平面向量基本定理可得到
2b-
2a
3
=c
4a
3
-b=c
，這兩式相減便得
b=
2a
3
c=
2a
3
．所以根據(jù)余弦定理即可求出cosB．
解答： 解：如圖，
根據(jù)重心的性質及向量加法的平行四邊形法則：
GA
=-
1
3
(
AB
+
AC
)=-
1
3
(
CB
-
CA
+
AC
)=-
1
3
(
CB
-2
CA
)；
GB
=-
1
3
(
BA
+
BC
)=-
1
3
(-2
CB
+
CA
)；
CG
=
1
3
(
CB
+
CA
)；
∴-
2a
3
(
CB
-2
CA
)-b(-2
CB
+
CA
)=c(
CB
+
CA
)；
即：(2b-
2a
3
)
CB
+(
4a
3
-b)
CA
=c
CB
+c
CA
；
∴
2b-
2a
3
=c
4a
3
-b=c
；
∴
b=
2a
3
c=
2a
3
；
由余弦定理cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2
4
3
a2
=
3
4
．
故答案為：
3
4
．
點評：考查重心的性質：重心到頂點距離是它到對邊中點距離的2倍，向量加法的平行四邊形法則，以及平面向量基本定理，余弦定理．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若x∈（0，1）則函數(shù)y=lnx+
1
lnx
≤-2．
 
（判斷對錯）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+
48
x
，x∈[-3，-1]．
（1）求f（x）的值域；
（2）設a≥1，函數(shù)g（x）=x3-3a2x+14a-1，若對于任意x1∈[-3，-1]，總存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C：y=
1-x2
和直線l：y=x-a，若曲線C和直線l有且僅有兩個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f1（x）=x，f2（x）=log2014x，f3（x）=
1
x
，ai=
i
2015
 i=1，2，…，2015，記Ik=|fk（a2）-fk（a1）|+|fk（a3）-fk（a2）|+…+|fk（a2015）-fk（a2014）|，k=1，2，3 則（　�。�
A、I1＜I3＜I2
B、I1＜I2＜I3
C、I2＜I1＜I3
D、I3＜I2＜I1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，如果x1，x2∈（-
π
6
，
π
3
），且f（x1）=f（x2），則f（x1+x2）等于（　　）
A、
1
2
B、
3
2
C、
2
2
D、1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知球的直徑SC=6，A，B，是該球球面上的兩點，AB=3，∠ASC=∠BSC=45°，則棱錐S-ABC的體積為（　�。�
A、
5
3
2
B、4
3
C、
9
3
2
D、6
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在組合體中，ABCD-A1B1C1D1是一個長方體，P-ABCD是一個四棱錐，AB=2，BC=3，點P∈平面CC1D1D，且PD=PC=
2
．
（1）證明：PD⊥平面PBC；
（2）若A1A=2，證明：PC∥平面AB1D；
（3）若A1A=a，試求當a為何值時，PC∥平面AB1D？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，AC=1，BC=
3
，∠A=60°，則∠C=
 
．

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